ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー６（順次比例で初項が次項の非約(倍)数）
もし
　順次に比例する任意個の数があり、
　第１の数が第２の数［と互い］を
　割り切らない
ならば、
　他のどの数もどの数をも割り切らない
であろう。

• 順次に比例は、 定義の補足（命題８ー１）による。
• 数は、 定義７ー２による。
• 割り切るは、 定義５ー１の補足２による。

　順次に比例する任意個の数
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅがあり、
　ＡがＢ［と互い］を割り切らない
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、 コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ｅ
  　となっている。
  
• 　Ａ、Ｂを
  　単位以外で、
  　互いに素な数としてとり、
  　命題８ー２（順次に比例する最小の数）
  により、
  　必要な個数の
  　順次に比例する数をとって、
  　構成する。
  
• 　Ａ＝８、Ｂ＝４
  とすると
  　ＡはＢを割り切らない
  が、
  　ＢはＡを割り切る
  ので
  　命題が成立しない。
  そこで、
  　補完している。
  

　他のどの数もどの数をも割り切らない
であろうと主張する。

そこで
　ＡはＢ［と互い］を割り切らない
から、
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅが
　順次にお互いを割り切らない
ことは明らかである。

• 　命題の設定
  により
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄである
  ので
  　命題の補足（定義７ー２１）（比例で割り切らない）
  により
  　お互いを割り切らない。
  

次に
　他のどの数も
　どの数をも割り切らない
であろうと主張する。

もし可能ならば

• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　ＡがＣを割り切る
とせよ。

• 　背理法の仮定である。
• 　Ａ｜Ｃとなっている。

そして
　Ａ、Ｂ、Ｃがいくつあろう
と、
　それと同じ個数の、
　Ａ、Ｂ、Ｃと同じ比をもつ数のなかで
　最小であるＦ、Ｇ、Ｈがとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　準一般的な証明である。
  　コメント２（命題５ー１）
  　参照のこと。
  
• 　命題８ー２（順次に比例する最小の数）
  による。
  

そうすれば
　Ｆ、Ｇ、Ｈは
　Ａ、Ｂ、Ｃと同じ比をなし、
　Ａ、Ｂ、Ｃは
　Ｆ、Ｇ、Ｈと同じ個数である

• 　前節による。

から、
　等間隔比により
　ＡがＣに対するように、
　ＦがＨに対する。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題７ー１４（数の等間隔比） による。

そして
　ＡがＢに対するように、
　ＦがＧに対し、
　ＡはＢ［と互い］を割り切らない

• （ａ）、 　命題の設定 による。

から、
　ＦもＧ［と互い］を割り切らない。

• 　命題の補足（定義７ー２１）（比例で割り切らない）
  による。

それゆえ
　Ｆ［、Ｇ］は単位ではない。

なぜなら
　単位はすべての数を割り切る
から。

• 　「なぜなら・・・であるから」
  は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと
  

そして
　Ｆ、Ｈは［単位ではなく、］
　互いに素である。

• 　前々節
  により
  　Ｇは単位でなく、
  　命題８ー２（構成.順次に比例する数）
  により
  　ＨはＧの２乗である
  ので
  　単位ではない。
  また、
  　命題８ー３（順次比例数の外項は互に素） により、
  　互いに素である。
  

そして
　ＦがＨに対するように、
　ＡがＣに対する。

• 　（１） による。

ゆえに
　ＡはＣ［と互い］を割り切らない。

• 　前々節
  により
  　ＦはＨ［と互い］を割り切らない
  ので、
  　命題の補足（定義７−２１）（比例で割り切らない）
  による。

同様にして
　他のどの数も
　どの数をも割り切らない
であろうことを証明しうる。

　これが証明すべきことであった。

• 　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ‥‥で、
  　ＡがＢを割り切らなけれ
  ば、
  　どの数も
  　どの数をも割り切らない
  ということである。
  
• 命題８ー６は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	8-2	補(義7-21), 7-14,8-3
  その他	コ4(題7-1)	背理法 コ2(題1-16),コ2(題5-1)

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