ユークリッド原論をどう読むか(12)
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第8巻
命題8ー15(立方数の整除、辺の整除)
もし
立方数が立方数を割り切る
ならば、
辺も辺を割り切る
であろう。
そしてもし
辺が辺を割り切る
ならば、
立方数も立方数を割り切る
であろう。
![](./img/0815.jpg)
立方数Aが
立方数Bを割り切る
とし、
CをAの、DをBの辺
とせよ。
-
「数(について)・・・とせよ」は、
コメント4(命題7ー1)
参照のこと。
-
C×C×C=A、D×D×D=B、
A|Bとなっている。
CはDを割り切る
と主張する。
Cが2乗してEをつくり、
Dが2乗してGをつくり、
さらに
CがDにかけてFをつくり、
C、DがFにかけて
それぞれH、Kをつくる
とせよ。
-
C×C=E、D×D=G、
C×D=F、
C×F=C×C×D=H、
D×F=D×C×D=K
となっている。
命題7ー16 (積の可換性)
により、
D×F=F×D=C×D×D=K
となっている。
そうすれば
E、F、GとA、H、K、Bは
C対Dの比をなして
順次に比例する
ことは明らかである。
[......(1)]
そして
A、H、K、Bは
順次に比例し、
AはBを割り切る
から、
Hをも割り切る。
-
命題8ー7
(順次比例で初項が末項の約(倍)数)
による。
そして
AがHに対するように、
CがDに対する。
したがって
CもDを割り切る。
-
前節、前々節、
定義7−21(比例)
による。
-
前半が証明された。
次に
CがDを割り切る
とせよ。
AもBを割り切る
であろうと主張する。
同じ作図がなされた
とき、
-
C×C=E、D×D=G、
C×D=F、
C×F=C×C×D=H、
D×F=F×D=C×D×D=K
を構成している
ことを述べている。
同様にして
A、H、K、Bが
C対Dの比をなして
順次に比例する
ことを証明しうる。
[......(2)]
そして
CがDを割り切り、
CがDに対するように、
AがHに対する
から、
AもHを割り切る。
[
そして
A、H、K、Bは順次に比例する。
]
したがって
AもBを割り切る。
-
前節、前々節により
前項は後項を割り切る
ので、
公理の補足2(命題7ー4)
(約数(倍数)での代入の原理)
による。
-
後半が証明された。
これが証明すべきことであった。
-
C^3|D^3 なら C|D
のことである。
- 命題8ー15は推論用命題である。
前
次
目次
頁頭