ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー１４（平方数の整除、辺の整除）
もし
　平方数が平方数を割り切る
ならば、
　辺も辺を割り切る
であろう。

そしてもし
　辺が辺を割り切る
ならば、
　平方数も平方数を割り切る
であろう。

• 平方数は、
  定義７ー１９による。
• 割り切るは、
  定義５ー１の補足２による。
• 辺は、
  定義７ー１７の補足による。

　Ａ、Ｂを平方数
とし、
　Ｃ、Ｄをそれらの辺
とし、
　ＡがＢを割り切る
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• Ｃ×Ｃ＝Ａ、Ｄ×Ｄ＝Ｂ、
  　Ａ｜Ｂとなっている。
  

　ＣもＤを割り切る
と主張する。

　ＣがＤにかけてＥをつくる
とせよ。

• 　Ｃ×Ｄ＝Ｅとなっている。

そうすれば
　Ａ、Ｅ、Ｂは
　Ｃ対Ｄの比をなして
　順次に比例する。
　　　　　　[......(１)]

• 　命題８ー１１の補足２
  　（平方数の比例中項）
  による。
  

そして
　Ａ、Ｅ、Ｂは順次に比例し、
　ＡがＢを割り切る

• 　命題の設定による。

から、
　Ａは
　また
　Ｅを割り切る。

• 　命題８ー７
  　（順次比例で初項が末項の約(倍)数）
  による。

そして
　ＡがＥに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 　（１）による。

ゆえに
　ＣもＤを割り切る。

• 　前節、前々節、
  　定義７−２１（比例）
  による。
  
• 　前半が証明された。

また
　ＣがＤを割り切る
とせよ。

• 　Ｃ｜Ｄとなっている。

　ＡもＢを割り切る
と主張する。

　同じ作図がなされた
とき、

• 　Ｃ×Ｄ＝Ｅを
  　構成している
  ことを述べている。
  

　同様にして
　Ａ、Ｅ、ＢがＣ対Ｄの比をなして
　順次に比例する
ことを証明しうる。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題８ー１１の補足２
  　（平方数の比例中項）
  による。
  

　 そして
　ＣがＤに対するように、
　ＡがＥに対し、
　ＣはＤを割り切る

• 　前節、
  命題の設定による。

から、
　ＡもＥを割り切る。

• 　定義７−２１（比例）
  による。 　

そして
　Ａ、Ｅ、Ｂは順次に比例する。

• 　（２）による。

したがって
　ＡもＢを割り切る。

• 　前節、前々節により
  　前項は後項を割り切る
  ので、
  　公理の補足２（命題７ー４）
  　（約数(倍数)での代入の原理）
  による。
  
• 　後半が証明された。

よってもし
　平方数が平方数を割り切る
ならば、
　辺も辺を割り切る
であろう。

そしてもし
　辺が辺を割り切る
ならば、
　平方数も平方数を割り切る
であろう。

　これが証明すべきことであった。

• 　Ｃ^2｜Ｄ^2　なら　Ｃ｜Ｄ
  のことである。
• 命題８ー１４は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-21
  公準
  公理
  命題		8-7,8-11補2
  その他	コ4(題7-1)

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