ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー１６（平方数の非整除、辺の非整除）
もし
　平方数が平方数を割り切らない
ならば、
　辺も辺を割り切らない
であろう。

そしてもし
　辺が辺を割り切らない
ならば、
　平方数も平方数を割り切らない
であろう。

• 平方数は、
  定義７ー１９による。
• 割り切るは、
  定義５ー１の補足２による。
• 辺は、
  定義７ー１７の補足による。

　Ａ、Ｂを平方数とし、
　Ｃ、Ｄをそれらの辺とし、
　ＡがＢを割り切らない
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ｃ×Ｃ＝Ａ、Ｄ×Ｄ＝Ｂ、
  　Ａ not｜Ｂ 　となっている。

　ＣもＤを割り切らない
であろうと主張する。

もし
　ＣがＤを割り切る
ならば、

• 　背理法の仮定である。

　ＡもＢを割り切る
であろう。

• 　命題８ー１４
  　（平方数の整除、辺の整除）
  による。

ところが
　ＡはＢを割り切らない。

• 　命題の設定による。

　［これは、不可能である。］
したがって
　ＣはＤを割り切らない
であろう。

• 　背理法による。
• 　ここまでで、
  　前半が証明された。
  

また
　ＣがＤを割り切らない
とせよ。

　ＡもＢを割り切らない
であろうと主張する。

もし
　ＡがＢを《割り切らない》
　［割り切る］
ならば、

• 　論理の流れは背理法である
  ので、
  　修正した。
  　背理法の仮定である。

　ＣもＤを《割り切らない》
　［割り切る］
であろう。

• 　命題８ー１４
  （平方数の整除、辺の整除）
  による。
  

ところが
　ＣはＤを割り切らない。

• 　命題の設定である。

　［これは、不可能である。］
したがって
　ＡはＢを割り切らないであろう。

• 　背理法による。

　これが証明すべきことであった。

• 　命題８ー１４の繰り返しとなっている。
• 命題８ー１６は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		8-14
  その他	コ4(題7-1)	背理法

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