ユークリッド原論をどう読むか（１１）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー９（同じ等分のいれかえ）
いれかえ
もし
ある数がある数の《約数》[等分]であり、
別のある数が別のある数の
　同じ《約数》[等分]であるならば、
いれかえて
第１の数が第３の数の
　いかなる《約数》[等分]または《約数和》[等分和]であろうと、
第２の数も第４の数の
　同じ《約数》[等分]または《約数和》[等分和]であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 《約数》[等分]は、
  定義７ー３による。
• 同じ《約数》[等分]は、
  定義の補足（命題７ー５）による。
• いれかえは、
  第２項と第３項を
  入れ替えることである。
  以下、 定義の補足（命題７ー９）(いれかえ)という。
  
• 《約数和》[等分和]は、
  定義７ー４の補足による。
  なお、
  　等分和という表現に、
  　倍数の意味も含めている。
  こうすることにより、
  　第１項が第３項より大きい場合にも
  　命題７ー９が成立する。
  
• 同じ《約数》[等分]和は、
  定義の補足（命題７ー６）による。

数Ａを数ＢＣの《約数》[等分]とし、
ＡがＢＣのいかなる《約数》[等分]であろうと、
別の数Ｄが別の数ＥＦの
　同じ《約数》[等分]であるとせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
  図は、Ａが２、ＢＣが４、Ｄが３、ＥＦが６による。
  　命題７ー５の補足２(構成.同じ等分となる第４数) による。
• 　数ＢＣ、Ｄ、
  　数Ａ[;;等分(Ａ,ＢＣ)＝１／ｍ]
  に対して、
  　数ＥＦ(;;等分(Ｄ,ＥＦ)＝等分(Ａ,ＢＣ)＝１／ｍ)
  をとっている。

いれかえて、
ＡがＤの
　いかなる《約数》[等分]または《約数》[等分]和であろうと、
ＢＣもＥＦの
　同じ《約数》[等分]または《約数》[等分]和であると主張する。


ＡがＢＣのいかなる《約数》[等分]であろうと、
ＤもＥＦの同じ《約数》[等分]であるから、

• 命題の設定である。
• 　等分(Ａ,ＢＣ)＝等分(Ｄ,ＥＦ)＝１／ｍ
  となっている。

ＢＣのなかにある
　Ａに等しい数と同じ個数の、
　Ｄに等しい数がＥＦのなかにもある。
[......(１)]

• 定義の補足（命題７ー５）（同じ等分）
  による。
• 　個数(ＢＣ,Ａ)＝個数(ＥＦ,Ｄ)＝ｍ
  となっている。

ＢＣがＡに等しい数ＢＧ［＝Ｇ1Ｇ'1］
　、［ＧiＧ'i、ＧmＧ'm＝］ＧＣに、
ＥＦがＤに等しい数ＥＨ［＝Ｈ1Ｈ'1］
　、［ＨiＨ'i、ＨmＨ'm＝］ＨＦに
　分けられたとせよ。
[......(ａ)]

• 準一般的な証明である。
  コメント２（命題５ー１） 参照のこと。
• 準一般的な証明の一般化の方法は、
  コメント５（命題５ー１） 参照のこと。
• 　点(Ｇi、Ｇ'i)(ＢＣ;;Σ(ＧiＧ'i;＝Ａ)＝ＢＣ
  　　,Ｂ＝Ｇ1,Ｃ＝Ｇ'm,Ｇ'i＝Ｇi+1)
  　点(Ｈi、Ｈ'i)(ＥＦ;;Σ(ＨiＨ'i;＝Ｄ)＝ＥＦ
  　　,Ｅ＝Ｈ1,Ｆ＝Ｈ'm,Ｈ'i＝Ｈi+1)
  をとっている。

そうすれば
ＢＧ、［ＧiＧ'i、］ＧＣの個数は
　ＥＨ、［ＨiＨ'i、］ＨＦの個数に等しいであろう。

• （１） による。
• 　個数(ＢＧ,ＧiＧ'i,ＧＣ)
  　＝個数(ＥＨ,ＨiＨ'i,ＨＦ)
  となっている。

そして
数ＢＧ、［ＧiＧ'i、］ＧＣは互いに等しく、
数ＥＨ、［ＨiＨ'i、］ＨＦも互いに等しく、

• (ａ) による。
• 　ＢＧ＝ＧiＧ'i＝ＧＣ＝Ａ、
  　ＥＨ＝ＨiＨ'i＝ＨＦ＝Ｄ
  となっている。

ＢＧ、［ＧiＧ'i、］ＧＣの個数は
　ＥＨ、［ＨiＨ'i、］ＨＦの個数に等しいから、

• 　個数(ＢＧ,ＧiＧ'i,ＧＣ)
  　＝個数(ＥＨ,ＨiＨ'i,ＨＦ)
  　＝ｍ
  となっている。

ＢＧがＥＨのいかなる《約数》[等分]または《約数》[等分]和であろうと、

• 　ＢＧ＜ＥＨ
  ならば、
  　命題７ー４（小さい数は等分数か等分和数）、
  　ＢＧ＞＝ＥＨ
  ならば、
  　命題７ー４の補足３(大きい数は等分和(倍数))
  による。
• 　ＢＧ;等分和(ＥＨ)＝ｑＥＨ／ｐ
  となっている。

［ＧiＧ'i、］ＧＣも［ＨiＨ'i、］ＨＦ
　の同じ《約数》[等分]または《約数》[等分]和である。

• 公理の補足２（命題７ー４）（等分数(倍数)での代入の原理）
  による。
• 　等分和(ＢＧ,ＥＨ)＝等分和(ＧiＧ'i,ＨiＨ'i)
  　＝等分和(ＧＣ,ＨＦ)＝ｑ／ｐ
  となっている。

それゆえ
ＢＧがＥＨのいかなる《約数》[等分]または《約数》[等分]和であろうと、
和ＢＣも和ＥＦの同じ《約数》[等分]または《約数》[等分]和である。

• 命題７ー６（和も同じ等分和）
  による。
• 　等分和(ＢＧ,ＥＨ)
  　＝等分和((ＢＣ;＝ΣＧiＧ'i),(ＥＦ;＝ΣＨiＨ'i))
  　＝ｍｑ／ｍｐ＝ｑ／ｐ
  となっている。

ところが
ＢＧはＡに、ＥＨはＤに等しい。

• （ａ）
  による。
• 　ＢＧ＝Ａ、
  　ＥＨ＝Ｄ
  となっている。

ゆえに、
ＡがＤのいかなる《約数》[等分]または《約数》[等分]和であろうと、
ＢＣもＥＦの同じ《約数》[等分]または《約数》[等分]和である。

• 公理の補足２（命題７ー４）（等分数(倍数)での代入の原理）
  による。
• 　等分和(Ａ,Ｄ)
  　＝等分和(ＢＣ,ＥＦ)
  　＝ｑ／ｐ
  となっている。

［よってもし
ある数がある数の《約数》[等分]であり、
別のある数が別のある数の
　同じ《約数》[等分]であるならば、
いれかえて
第１の数が第３の数の
　いかなる《約数》[等分]または《約数》[等分]和であろうと、
第２の数も第４の数の
　同じ《約数》[等分]または《約数》[等分]和であろう。］

これが証明すべきことであった。

• 命題７ー９は、
  　等分(Ｄ,Ｅ)＝等分(Ａ,Ｂ)＝１／ｍ
  ならば、
  　等分和(Ａ,Ｄ)＝等分和(Ｂ,Ｅ)＝ｑ／ｐ
  すなわち、
  　Ａ＝Ｂ／ｍ、Ｄ＝Ｅ／ｍ
  ならば
  　Ｂ／Ｅ＝Ａ／Ｄ＝ｑ／ｐ
  のことである。
  
• 命題７ー９は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		補(題7-5)
  公準
  公理		補2(題7-4)
  命題	7-5補2	7-4,7-4補3, 7-6
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題5-1),コ5(題5-1)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭