ユークリッド原論をどう読むか(11)
頁末          目次

ユークリッド原論

第7巻
 
命題7ー5(和も同じ等分)
同じ等分
(構成.同じ等分となる第4数)
(同じ等分に同じ)
もし
 あるがある《約数》[等分]であり、
 別のあるが別のある
 同じ《約数》[等分]であるならば、
 1つが1つのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 和も同じ《約数》[等分]であろう。


AがBCの《約数》[等分]であるとし、
 AがBCのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 別のDが別のEFの
 同じ《約数》[等分]であるとせよ。

A、Dの和もBC、EFの和の、
 AがBCの《約数》[等分]であるのと
 同じ《約数》[等分]である
 と主張する。
 
AがBCのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 DもEFの同じ《約数》[等分]であるから、

  BCのなかにある
 Aに等しいと同じ個数の、
 Dに等しい
 EFのなかにもある。 【・・・(1)】

BCが
 Aに等しいBG[=G1G'1、…、GiG'i、GnG'n=]GCに、
 EFが
 Dに等しいEH[=H1H'1、…、HiH'i、HnH'n=]HFに
 分けられたとせよ。
【・・・(a)】

そうすれば
 BG、GCの個数
 EH、HFの個数等しいであろう。

そして
 BGはAに、
 EHはDに等しいから、

 BG、EHの和も
 A、Dの和に等しい

同じ理由で
 GC、HFの和も、
 A、Dの和に等しい

それゆえ
 BCのなかにある
 Aに等しいと同じ個数の、
 A、Dの和に等しい
 BC、EFの和のなかにもある。

ゆえに
 BCがAの何であろうと、
 BC、EFの和も
 A、Dの和の同じ倍数である。

したがって
 AがBCのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 A、Dの和もBC、EFの和の同じ《約数》[等分]である。

 これが証明すべきことであった。
      目次   頁頭