ユークリッド原論をどう読むか(11)
頁末          目次

ユークリッド原論

第7巻
 
命題7ー7(差も同じ等分)
もし
 あるがある《約数》[等分]であり、
 引き去られたが引き去られた
 同じ《約数》[等分]であるならば、
 全体が全体のいかなる《約数》[等分]であろうと、
 残りのも残りの同じ《約数》[等分]であろう。



ABが
 CDの《約数》[等分]であり、
 引き去られたAEが
 引き去られたCFの同じ《約数》[等分]であるとせよ。

AB全体が
 CD全体のいかなる《約数》[等分]であろうと
 残りのEBも
 残りのFDの同じ《約数》[等分]である
 と主張する。
 
AEが
 CFのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 EBもCGの同じ《約数》[等分]であるとせよ。 【・・・(a)】

そうすれば
 AEがCFのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 EBもCGの同じ《約数》[等分]であろうから、

 ABもGFの、
 AEがCFの《約数》[等分]であるのと同じ《約数》[等分]である。

ところが
 AEがCFのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 ABもCDの同じ《約数》[等分]であると
 仮定されている。

それゆえ
 ABがGFのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 ABはCDの同じ《約数》[等分]でもある。

ゆえに
 GFはCDに等しい

双方からCFが引かれたとせよ。

そうすれば
 残りのGCは
 残りのFDに等しい

そして
 AEがCFのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 EBもGCの同じ《約数》[等分]であり、

 GCはFDに等しいから、

 EBもFDの、
 AEがCFの《約数》[等分]であるのと同じ《約数》[等分]である。

ところが
 AEがCFのいかなる《約数》[等分]であろうと、
 ABもCDの同じ《約数》[等分]である。

よって
 残りのEBも残りのFDの、
 AB全体がCD全体の《約数》[等分]であるのと
 同じ《約数》[等分]である。

これが証明すべきことであった。
      目次   頁頭