ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー７（差も同じ等分）
もし
　ある数がある数の《約数》[等分]であり、
　引き去られた数が引き去られた数の
　同じ《約数》[等分]であるならば、
　全体が全体のいかなる《約数》[等分]であろうと、
　残りの数も残りの数の同じ《約数》[等分]であろう。

• 数は、 定義７ー２ による。
• 《約数》[等分]は、 定義７ー３ による。
• 同じ《約数》[等分]は、 定義の補足（命題７ー５） による。

数ＡＢが
　数ＣＤの《約数》[等分]であり、
　引き去られた数ＡＥが
　引き去られた数ＣＦの同じ《約数》[等分]であるとせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
  図は、ＡＢが６、ＣＤが１２、
  　ＡＥが２、ＣＦが４による。
  　命題７ー５の補足２(構成.同じ等分となる第４数)
  による。
  
• 　数ＣＤ
  に対して、
  　数ＡＢ;等分(ＡＢ,ＣＤ)、
  　点Ｆ[ＣＤ]
  　点Ｅ(ＡＢ;;ＡＥ＝等分(ＡＢ,ＣＤ).ＣＦ)、
  をとっている。

ＡＢ全体が
　ＣＤ全体のいかなる《約数》[等分]であろうと
　残りの数ＥＢも
　残りの数ＦＤの同じ《約数》[等分]である
　と主張する。
　
ＡＥが
　ＣＦのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　ＥＢもＣＧの同じ《約数》[等分]であるとせよ。 【・・・(a)】

• 　点Ｇ(延長ＦＣ;;等分(ＥＢ,ＣＧ)＝等分(ＡＥ,ＣＦ))
  をとっている。

そうすれば
　ＡＥがＣＦのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　ＥＢもＣＧの同じ《約数》[等分]であろうから、

• 　等分(ＡＥ,ＣＦ)＝等分(ＥＢ,ＣＧ)＝１／ｍ
  となっている。

　ＡＢもＧＦの、
　ＡＥがＣＦの《約数》[等分]であるのと同じ《約数》[等分]である。

• 命題７ー５（和も同じ等分）
  による。
• 　等分(ＡＢ,ＧＦ)＝等分(ＡＥ,ＣＦ)＝１／ｍ
  となっている。

ところが
　ＡＥがＣＦのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　ＡＢもＣＤの同じ《約数》[等分]であると
　仮定されている。

• 命題の設定による。
• 　等分(ＡＥ,ＣＦ)＝等分(ＡＢ,ＣＤ)＝１／ｍ
  となっている。

それゆえ
　ＡＢがＧＦのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　ＡＢはＣＤの同じ《約数》[等分]でもある。

• 命題７ー５の補足３(同じ等分に同じ)
  による。
• 　等分(ＡＢ,ＧＦ)＝等分(ＡＢ,ＣＤ)＝１／ｍ
  となっている。

ゆえに
　ＧＦはＣＤに等しい。

• 定義の補足（命題７ー５）（同じ等分）、
  公理１ー５の補足（同じもののｎ倍）
  による。
• 　ＧＦ＝ＣＤ
  となっている。

双方からＣＦが引かれたとせよ。

• 　ＧＦーＣＦ＝ＣＤーＣＦ
  となっている。

そうすれば
　残りのＧＣは
　残りのＦＤに等しい。

• 公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　ＧＣ＝ＦＤ
  となっている。

そして
　ＡＥがＣＦのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　ＥＢもＧＣの同じ《約数》[等分]であり、

• (a)による。
• 　等分(ＡＥ,ＣＦ)＝等分(ＥＢ,ＧＣ)＝１／ｍ
  となっている。

　ＧＣはＦＤに等しいから、

• 　ＧＣ＝ＦＤ
  となっている。

　ＥＢもＦＤの、
　ＡＥがＣＦの《約数》[等分]であるのと同じ《約数》[等分]である。

• 命題７ー５の補足３(同じ等分に同じ)
  による。
• 　等分(ＥＢ,ＦＤ)＝等分(ＡＥ,ＣＦ)＝１／ｍ
  となっている。

ところが
　ＡＥがＣＦのいかなる《約数》[等分]であろうと、
　ＡＢもＣＤの同じ《約数》[等分]である。

• 命題の設定による。
• 　等分(ＡＥ,ＣＦ)＝等分(ＡＢ,ＣＤ)＝１／ｍ
  となっている。

よって
　残りのＥＢも残りのＦＤの、
　ＡＢ全体がＣＤ全体の《約数》[等分]であるのと
　同じ《約数》[等分]である。

• 命題７ー５の補足３(同じ等分に同じ)
  による。
• 　等分(ＥＢ,ＦＤ)＝等分(ＡＢ,ＣＤ)＝１／ｍ
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題７ー７は、
  　等分(Ａ,Ｂ)＝等分(Ｃ,Ｄ)＝１／ｍ
  となる
  　数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ
  をとれば、
  　等分(ＡーＣ,ＢーＤ)＝等分(Ａ,Ｂ)＝１／ｍ
  すなわち
  　Ａ＝Ｂ／ｍ、Ｃ＝Ｄ／ｍ
  ならば
  　(ＡーＣ)＝(ＢーＤ)／ｍ
  のことである。
  
• 命題７ー７は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		補(題7-5)
  公準
  公理		1-3,1-5補
  命題	7-5補2	7-5,7-5補3
  その他	コ4(題7-1)

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