ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー３２（順次２倍数と偶数倍の偶数倍）
　２から始まり
　順次に２倍された数のおのおのは
　偶数倍の偶数［である］のみである。

• 倍は、
  定義の補足（公理１ー５）による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 偶数倍の偶数は、
  定義７ー９による。

　任意個の数Ｂ、Ｃ、Ｄが
　２であるＡから始まり
　順次に２倍された
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　準一般的な証明である。
  　コメント２（命題５ー１）
  　参照のこと
  

　Ｂ、Ｃ、Ｄは偶数倍の偶数［である］のみである
と主張する。

さて
　Ｂ、Ｃ、Ｄのおのおのが
　偶数倍の偶数である
ことは明らかである。

なぜなら
　２から始まり順次に２倍された
から。

• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
  
• 　Ｂ＝２×２、Ｃ＝２×４、
  　Ｄ＝２×８
  という意味である。
  
• 　偶数倍の偶数という形式で
  　表現される
  ということである。
  

　それのみである
ことをも主張する。

• 　偶数倍の偶数という形式
  　以外の形式で
  　表現されない
  という意味である。
  

　単位が措定された
とせよ。

そうすれば
　任意個の数が
　単位から始まり順次に比例し、
　単位の次の数Ａが素数である

• 　１、Ａ（２）、Ｂ（４）、
  　Ｃ（８）、Ｄ（１６）
  となっている。
  

から、
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのうち最大な数Ｄは
　Ａ、Ｂ、Ｃ以外の他のいかなる数にも
　割り切られない
であろう。

• 　前節、前々節
  　命題９ー１３（素数の累乗はその累乗だけが割り切る）
  による。
  

そして
　Ａ、Ｂ、Ｃのおのおのは偶数である。

• 　命題の設定、
  　定義７ー６（偶数）
  による。
  

したがって
　Ｄは偶数倍の偶数［である］のみである。

• 　背理法の仮定として
  　Ｄ＝偶数×奇数
  という表現や
  　Ｄ＝奇数×奇数
  という表現をもつ
  ならば、
  　Ｄは奇数で割り切れる
  から
  　奇数の約数をもつ。
  　偶数以外の約数をもたない
  ことと矛盾する。
  したがって
  　Ｄ＝偶数×偶数
  という表現のみである。
  

同様にして
　Ｂ、Ｃの双方も
　偶数倍の偶数のみである
ことを証明しうる。

• 　ＢまたはＣが最後になる
  　順次に比例する数を
  　考えればよい。
  

これが証明すべきことであった。

• 命題９ー３２は、
  　Ａ1；２、
  　Ａn+1＝２×Ａn
  ならば、
  　Ａn；偶数倍の偶数
  のことである。
• 命題９ー３２は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-6
  公準
  公理
  命題		9-13
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-16),コ2(題5-1) ,背理法

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