ユークリッド原論をどう読むか（８）
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ユークリッド原論

第４巻

命題４ー７（正方形を外接）
与えられた円に
　正方形を外接させること。

• 円は、 定義１ー１５ による。
• 正方形は、 定義１ー２２ による。
• 外接は、 定義４ー４ による。

与えられた円をＡＢＣＤとせよ。

• 　円ＡＢＣＤ
  をとっている。

このとき
　円ＡＢＣＤに
　正方形を外接させねばならぬ。

円ＡＢＣＤの
　２つの直径ＡＣ、ＢＤが
　互いに直角にひかれ、
　［その交点をＥとし、］ 【・・・(a)】

• 公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により
  　円周上に点Ａをとる。
  命題３ー１ （作図.円の中心）
  により
  　円の中心Ｅをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により
  　ＡとＥを結び、
  　 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  により
  　線分ＡＥを延長する。
  すると、
  　 命題３－１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により
  直線ＡＥは
  　Ａ以外に
  　もう１点で円周と交わる。
  その点をＣとする。
  定義１ー１７ （直径）
  により、
  線分ＡＣは
  　直径である。
  命題１ー１１ （作図・線分からの垂線）
  により
  　直径ＡＣに、
  　その上の中心Ｅから直角に
  　直線ＥＢをひく。
  命題３－１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により、
  直線ＥＢは
  　円周と２点で交わる。
  その１点を改めてＢとし、
  　もう１点をＤとする。
• 　円ＡＢＣＤ
  に対して、
  　中心Ｅ.円ＡＢＣＤ、
  　点Ａ[上.円周ＡＢＣＤ]、
  　交点Ｃ(延長ＡＥ,円周ＡＢＣＤ)、
  　交点Ｂ[円周ＡＢＣＤ,垂線(Ｅ,ＡＣ)]、
  　交点Ｄ(延長ＢＥ,円周ＡＢＣＤ)
  をとっている。
  

　点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを通り、
　円ＡＢＣＤに
　接線ＦＧ、ＧＨ、ＨＫ、ＫＦがひかれたとせよ。

• 命題３ー１６の補足３ （円周上の点を通る接線）
  による。
• 　交点Ｆ(接線(Ａ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｄ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｇ(接線(Ｂ,円ＡＢＣＤ),接線(Ａ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｈ(接線(Ｃ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｂ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｋ(接線(Ｄ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｃ,円ＡＢＣＤ))
  をとっている。

そうすれば
ＦＧは
　円ＡＢＣＤに接し、
　中心Ｅから接点Ａへ
　ＥＡが結ばれたから、

• (a) による。
• 　接点Ａ(ＦＧ,円ＡＢＣＤ)、
  　ＥＡ;半径.円ＡＢＣＤ
  となっている。

Ａにおける角は
　直角である。

• 命題３－１６の系 （系．接線は直径と直角）
  による。
• 　ＥＡ⊥ＦＧ
  となっている。

同じ理由で
点Ｂ、Ｃ、Ｄにおける角も
　直角である。

• 　ＥＢ⊥ＧＨ、
  　ＥＣ⊥ＨＫ、
  　ＥＤ⊥ＫＦ
  となっている。

そして
角ＡＥＢは
　直角であり、

• (a)による。
• 　∠ＡＥＢ＝∠Ｒ
  となっている。

角ＥＢＧも
　直角であるから、

• 命題３－１６の系 （系．接線は直径と直角）
  による。
• 　∠ＥＢＧ＝∠Ｒ
  となっている。

ＧＨは
　ＡＣに平行である。

• 命題１ー２８ （内対角、同側内角と平行）
  による。
• 　ＧＨ∥ＡＣ
  となっている。

同じ理由で
ＡＣも
　ＦＫに平行である。

• 　ＡＣ∥ＦＫ
  となっている。

それゆえ
ＧＨも
　ＦＫに平行である。

• 命題１ー３０ （平行の平行）
  による。
• 　ＧＨ∥ＦＫ
  となっている。

同様にして
ＧＦ、ＨＫの双方も
　ＢＥＤに平行である
　ことを証明しうる。

• 　ＧＨ∥ＢＥＤ、
  　ＨＫ∥ＢＥＤ
  となっている。

ゆえに
ＧＫ、ＧＣ、ＡＫ、ＦＢ、ＢＫは
　平行四辺形である。 【・・・(1)】

• 四辺形を対角の２点Ｇ、Ｋで表現している。
• 定義の補足（命題１ー３４） (平行四辺形・対角線)
  による。
• 　ＧＫ、ＧＣ、ＡＫ、ＦＢ、ＢＫ;平行四辺形
  となっている。

したがって
ＧＦは
　ＨＫに、
ＧＨは
　ＦＫに等しい。

• 命題１ー３４ （平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＧＦ＝ＨＫ、
  　ＧＨ＝ＦＫ
  となっている。

そして
ＡＣは
　ＢＤに等しく、

• 命題の補足２（定義１ー１７） （同一円の直径は等しい）
  による。
• 　ＡＣ＝ＢＤ
  となっている。

ＡＣは
　またＧＨ、ＦＫの双方に、
ＢＤは
　ＧＦ、ＨＫの双方に等しいから、

• 命題１ー３４ （平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＡＣ＝ＧＨ＝ＦＫ、
  　ＢＤ＝ＧＦ＝ＨＫ
  となっている。

四辺形ＦＧＨＫは
　等辺である。 【・・・(2)】

• 公理１ー１の補足 （等しいものに等しい）
  による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;等辺
  となっている。

次に
　方形でもあると主張する。
ＧＢＥＡは
　平行四辺形であり、

• (1) による。
• 　ＧＢＥＡ;平行四辺形
  となっている。

角ＡＥＢは
　直角であるから、

• (a) による。
• 　∠ＡＥＢ＝∠Ｒ
  となっている。

角ＡＧＢも
　直角である。

• 命題１ー３４ （平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　∠ＡＧＢ＝∠Ｒ
  となっている。

同様にして
Ｈ、Ｋ、Ｆにおける角も
　直角である
　ことを証明しうる。

• 　∠ＢＨＣ＝∠Ｒ
  　∠ＣＫＤ＝∠Ｒ
  　∠ＤＦＡ＝∠Ｒ
  となっている。

それゆえ
ＦＧＨＫは
　方形である。

• 定義１ー２２の補足３ （方形）
  による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;方形
  となっている。

ところが
　等辺である
　ことも先に証明された。

• (2) による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;等辺
  となっている。

ゆえに
　正方形である。

• 定義１ー２２ （正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;正方形
  となっている。

そして
　円ＡＢＣＤに外接された。

• 定義４ー４（外接(円に)）
  による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;（外接）円ＡＢＣＤ
  となっている。

よって
　与えられた円に正方形が外接された。
これが作図すべきものであった。
　

• 命題４ー７は、
  　円ＡＢＣＤ
  に対して、
  　直径ＡＣ.円ＡＢＣＤ、
  　直径ＢＤ..円ＡＢＣＤ(;;ＢＤ⊥ＡＣ)、
  　交点Ｆ(接線(Ａ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｄ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｇ(接線(Ｂ,円ＡＢＣＤ),接線(Ａ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｈ(接線(Ｃ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｂ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｋ(接線(Ｄ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｃ,円ＡＢＣＤ))
  をとれば、
  　四辺形ＦＧＨＫ;正方形
  のことである。
• 命題４ー７は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-17,1-22,1-22補3,4-4,補(題1-34)
  公準	1-1,1-1補,1-2
  公理		1-1補
  命題	1-11,3-1,3-1補2,3-16補3	補2(義1-17),1-28,1-30,1-34,3-16系
  その他

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