ユークリッド原論をどう読むか（８）
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ユークリッド原論

第４巻

命題４ー７（正方形を外接）
与えられた円に
　正方形を外接させること。

• 円は、 定義１ー１５ による。
• 正方形は、 定義１ー２２ による。
• 外接は、 定義４ー４ による。

与えられた円をＡＢＣＤとせよ。

• 　円ＡＢＣＤ
  をとっている。

このとき
　円ＡＢＣＤに
　正方形を外接させねばならぬ。

円ＡＢＣＤの
　２つの直径ＡＣ、ＢＤが
　互いに直角にひかれ、
　［その交点をＥとし、］ 【・・・(a)】

• 公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により
  　円周上に点Ａをとる。
  命題３ー１ （作図.円の中心）
  により
  　円の中心Ｅをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により
  　ＡとＥを結び、
  　 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  により
  　線分ＡＥを延長する。
  すると、
  　 命題３−１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により
  直線ＡＥは
  　Ａ以外に
  　もう１点で円周と交わる。
  その点をＣとする。
  定義１ー１７ （直径）
  により、
  線分ＡＣは
  　直径である。
  命題１ー１１ （作図・線分からの垂線）
  により
  　直径ＡＣに、
  　その上の中心Ｅから直角に
  　直線ＥＢをひく。
  命題３−１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により、
  直線ＥＢは
  　円周と２点で交わる。
  その１点を改めてＢとし、
  　もう１点をＤとする。
• 　円ＡＢＣＤ
  に対して、
  　中心Ｅ.円ＡＢＣＤ、
  　点Ａ[上.円周ＡＢＣＤ]、
  　交点Ｃ(延長ＡＥ,円周ＡＢＣＤ)、
  　交点Ｂ[円周ＡＢＣＤ,垂線(Ｅ,ＡＣ)]、
  　交点Ｄ(延長ＢＥ,円周ＡＢＣＤ)
  をとっている。
  

　点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを通り、
　円ＡＢＣＤに
　接線ＦＧ、ＧＨ、ＨＫ、ＫＦがひかれたとせよ。

• 命題３ー１６の補足３ （円周上の点を通る接線）
  による。
• 　交点Ｆ(接線(Ａ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｄ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｇ(接線(Ｂ,円ＡＢＣＤ),接線(Ａ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｈ(接線(Ｃ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｂ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｋ(接線(Ｄ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｃ,円ＡＢＣＤ))
  をとっている。

そうすれば
ＦＧは
　円ＡＢＣＤに接し、
　中心Ｅから接点Ａへ
　ＥＡが結ばれたから、

• (a) による。
• 　接点Ａ(ＦＧ,円ＡＢＣＤ)、
  　ＥＡ;半径.円ＡＢＣＤ
  となっている。

Ａにおける角は
　直角である。

• 命題３−１６の系 （系．接線は直径と直角）
  による。
• 　ＥＡ⊥ＦＧ
  となっている。

同じ理由で
点Ｂ、Ｃ、Ｄにおける角も
　直角である。

• 　ＥＢ⊥ＧＨ、
  　ＥＣ⊥ＨＫ、
  　ＥＤ⊥ＫＦ
  となっている。

そして
角ＡＥＢは
　直角であり、

• (a)による。
• 　∠ＡＥＢ＝∠Ｒ
  となっている。

角ＥＢＧも
　直角であるから、

• 命題３−１６の系 （系．接線は直径と直角）
  による。
• 　∠ＥＢＧ＝∠Ｒ
  となっている。

ＧＨは
　ＡＣに平行である。

• 命題１ー２８ （内対角、同側内角と平行）
  による。
• 　ＧＨ‖ＡＣ
  となっている。

同じ理由で
ＡＣも
　ＦＫに平行である。

• 　ＡＣ‖ＦＫ
  となっている。

それゆえ
ＧＨも
　ＦＫに平行である。

• 命題１ー３０ （平行の平行）
  による。
• 　ＧＨ‖ＦＫ
  となっている。

同様にして
ＧＦ、ＨＫの双方も
　ＢＥＤに平行である
　ことを証明しうる。

• 　ＧＨ‖ＢＥＤ、
  　ＨＫ‖ＢＥＤ
  となっている。

ゆえに
ＧＫ、ＧＣ、ＡＫ、ＦＢ、ＢＫは
　平行四辺形である。 【・・・(1)】

• 四辺形を対角の２点Ｇ、Ｋで表現している。
• 定義の補足（命題１ー３４） (平行四辺形・対角線)
  による。
• 　ＧＫ、ＧＣ、ＡＫ、ＦＢ、ＢＫ;平行四辺形
  となっている。

したがって
ＧＦは
　ＨＫに、
ＧＨは
　ＦＫに等しい。

• 命題１ー３４ （平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＧＦ＝ＨＫ、
  　ＧＨ＝ＦＫ
  となっている。

そして
ＡＣは
　ＢＤに等しく、

• 命題の補足２（定義１ー１７） （同一円の直径は等しい）
  による。
• 　ＡＣ＝ＢＤ
  となっている。

ＡＣは
　またＧＨ、ＦＫの双方に、
ＢＤは
　ＧＦ、ＨＫの双方に等しいから、

• 命題１ー３４ （平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　ＡＣ＝ＧＨ＝ＦＫ、
  　ＢＤ＝ＧＦ＝ＨＫ
  となっている。

四辺形ＦＧＨＫは
　等辺である。 【・・・(2)】

• 公理１ー１の補足 （等しいものに等しい）
  による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;等辺
  となっている。

次に
　方形でもあると主張する。
ＧＢＥＡは
　平行四辺形であり、

• (1) による。
• 　ＧＢＥＡ;平行四辺形
  となっている。

角ＡＥＢは
　直角であるから、

• (a) による。
• 　∠ＡＥＢ＝∠Ｒ
  となっている。

角ＡＧＢも
　直角である。

• 命題１ー３４ （平行四辺形の対辺・対角・対角線）
  による。
• 　∠ＡＧＢ＝∠Ｒ
  となっている。

同様にして
Ｈ、Ｋ、Ｆにおける角も
　直角である
　ことを証明しうる。

• 　∠ＢＨＣ＝∠Ｒ
  　∠ＣＫＤ＝∠Ｒ
  　∠ＤＦＡ＝∠Ｒ
  となっている。

それゆえ
ＦＧＨＫは
　方形である。

• 定義１ー２２の補足３ （方形）
  による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;方形
  となっている。

ところが
　等辺である
　ことも先に証明された。

• (2) による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;等辺
  となっている。

ゆえに
　正方形である。

• 定義１ー２２ （正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;正方形
  となっている。

そして
　円ＡＢＣＤに外接された。

• 定義４ー４（外接(円に)）
  による。
• 　四辺形ＦＧＨＫ;（外接）円ＡＢＣＤ
  となっている。

よって
　与えられた円に正方形が外接された。
これが作図すべきものであった。
　

• 命題４ー７は、
  　円ＡＢＣＤ
  に対して、
  　直径ＡＣ.円ＡＢＣＤ、
  　直径ＢＤ..円ＡＢＣＤ(;;ＢＤ⊥ＡＣ)、
  　交点Ｆ(接線(Ａ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｄ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｇ(接線(Ｂ,円ＡＢＣＤ),接線(Ａ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｈ(接線(Ｃ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｂ,円ＡＢＣＤ))、
  　交点Ｋ(接線(Ｄ,円ＡＢＣＤ),接線(Ｃ,円ＡＢＣＤ))
  をとれば、
  　四辺形ＦＧＨＫ;正方形
  のことである。
• 命題４ー７は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-17,1-22,1-22補3,4-4,補(題1-34)
  公準	1-1,1-1補,1-2
  公理		1-1補
  命題	1-11,3-1,3-1補2,3-16補3	補2(義1-17),1-28,1-30,1-34,3-16系
  その他

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