ユークリッド原論をどう読むか(8)
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ユークリッド原論

第4巻

命題4ー7(正方形を外接)
与えられた
 正方形外接させること。

与えられたをABCDとせよ。

このとき
 ABCDに
 正方形外接させねばならぬ。

ABCDの
 2つの直径AC、BDが
 互いに直角にひかれ、
 [その交点をEとし、] 【・・・(a)】  A、B、C、Dを通り、
 ABCDに
 接線FG、GH、HK、KFがひかれたとせよ。
そうすれば
FGは
 ABCDに接し
 中心Eから接点Aへ
 EAが結ばれたから、
Aにおける
 直角である。
同じ理由で
B、C、Dにおける
 直角である。

そして
AEBは
 直角であり、
EBGも
 直角であるから、
GHは
 ACに平行である。
同じ理由で
ACも
 FKに平行である。

それゆえ
GHも
 FKに平行である。
同様にして
GF、HKの双方も
 BEDに平行である
 ことを証明しうる。

ゆえに
GK、GC、AK、FB、BKは
 平行四辺形である。 【・・・(1)】 したがって
GFは
 HKに、
GHは
 FKに等しい
そして
ACは
 BDに等しく
ACは
 またGH、FKの双方に、
BDは
 GF、HKの双方に等しいから、
四辺形FGHKは
 等辺である。 【・・・(2)】 次に
 方形でもあると主張する。
GBEAは
 平行四辺形であり、
AEBは
 直角であるから、
AGBも
 直角である。
同様にして
H、K、Fにおける
 直角である
 ことを証明しうる。

それゆえ
FGHKは
 方形である。
ところが
 等辺である
 ことも先に証明された。
ゆえに
 正方形である。
そして
 ABCDに外接された。
よって
 与えられた正方形外接された。
これが作図すべきものであった。
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