ユークリッド原論をどう読むか(8)
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ユークリッド原論
第4巻
命題4ー7
(正方形を外接)
与えられた
円
に
正方形
を
外接
させること。
円は、
定義1ー15
による。
正方形は、
定義1ー22
による。
外接は、
定義4ー4
による。
与えられた
円
をABCDとせよ。
円ABCD
をとっている。
このとき
円
ABCDに
正方形
を
外接
させねばならぬ。
円
ABCDの
2つの
直径
AC、BDが
互いに
直角
にひかれ、
[その交点をEとし、]
【・・・(a)】
公準1ー1の補足
(作図.任意の点をとる)
により
円周上に点Aをとる。
命題3ー1
(作図.円の中心)
により
円の中心Eをとる。
公準1ー1
(作図.直線)
により
AとEを結び、
公準1ー2
(作図.直線の延長)
により
線分AEを延長する。
すると、
命題3-1の補足2
(中心を通る直線は円周と2交点)
により
直線AEは
A以外に
もう1点で円周と交わる。
その点をCとする。
定義1ー17
(直径)
により、
線分ACは
直径である。
命題1ー11
(作図・線分からの垂線)
により
直径ACに、
その上の中心Eから直角に
直線EBをひく。
命題3-1の補足2
(中心を通る直線は円周と2交点)
により、
直線EBは
円周と2点で交わる。
その1点を改めてBとし、
もう1点をDとする。
円ABCD
に対して、
中心E.円ABCD、
点A[上.円周ABCD]、
交点C(延長AE,円周ABCD)、
交点B[円周ABCD,垂線(E,AC)]、
交点D(延長BE,円周ABCD)
をとっている。
点
A、B、C、Dを通り、
円
ABCDに
接線
FG、GH、HK、KFがひかれたとせよ。
命題3ー16の補足3
(円周上の点を通る接線)
による。
交点F(接線(A,円ABCD),接線(D,円ABCD))、
交点G(接線(B,円ABCD),接線(A,円ABCD))、
交点H(接線(C,円ABCD),接線(B,円ABCD))、
交点K(接線(D,円ABCD),接線(C,円ABCD))
をとっている。
そうすれば
FGは
円
ABCDに
接し
、
中心
Eから
接点
Aへ
EAが結ばれたから、
(a)
による。
接点A(FG,円ABCD)、
EA;半径.円ABCD
となっている。
Aにおける
角
は
直角
である。
命題3-16の系
(系.接線は直径と直角)
による。
EA⊥FG
となっている。
同じ理由で
点
B、C、Dにおける
角
も
直角
である。
EB⊥GH、
EC⊥HK、
ED⊥KF
となっている。
そして
角
AEBは
直角
であり、
(a)
による。
∠AEB=∠R
となっている。
角
EBGも
直角
であるから、
命題3-16の系
(系.接線は直径と直角)
による。
∠EBG=∠R
となっている。
GHは
ACに
平行
である。
命題1ー28
(内対角、同側内角と平行)
による。
GH∥AC
となっている。
同じ理由で
ACも
FKに
平行
である。
AC∥FK
となっている。
それゆえ
GHも
FKに
平行
である。
命題1ー30
(平行の平行)
による。
GH∥FK
となっている。
同様にして
GF、HKの双方も
BEDに
平行
である
ことを証明しうる。
GH∥BED、
HK∥BED
となっている。
ゆえに
GK、GC、AK、FB、BKは
平行四辺形
である。
【・・・(1)】
四辺形を対角の2点G、Kで表現している。
定義の補足(命題1ー34)
(平行四辺形・対角線)
による。
GK、GC、AK、FB、BK;平行四辺形
となっている。
したがって
GFは
HKに、
GHは
FKに
等しい
。
命題1ー34
(平行四辺形の対辺・対角・対角線)
による。
GF=HK、
GH=FK
となっている。
そして
ACは
BDに
等しく
、
命題の補足2(定義1ー17)
(同一円の直径は等しい)
による。
AC=BD
となっている。
ACは
またGH、FKの双方に、
BDは
GF、HKの双方に
等しい
から、
命題1ー34
(平行四辺形の対辺・対角・対角線)
による。
AC=GH=FK、
BD=GF=HK
となっている。
四辺形
FGHKは
等辺
である。
【・・・(2)】
公理1ー1の補足
(等しいものに等しい)
による。
四辺形FGHK;等辺
となっている。
次に
方形
でもあると主張する。
GBEAは
平行四辺形
であり、
(1)
による。
GBEA;平行四辺形
となっている。
角
AEBは
直角
であるから、
(a)
による。
∠AEB=∠R
となっている。
角
AGBも
直角
である。
命題1ー34
(平行四辺形の対辺・対角・対角線)
による。
∠AGB=∠R
となっている。
同様にして
H、K、Fにおける
角
も
直角
である
ことを証明しうる。
∠BHC=∠R
∠CKD=∠R
∠DFA=∠R
となっている。
それゆえ
FGHKは
方形
である。
定義1ー22の補足3
(方形)
による。
四辺形FGHK;方形
となっている。
ところが
等辺
である
ことも先に証明された。
(2)
による。
四辺形FGHK;等辺
となっている。
ゆえに
正方形
である。
定義1ー22
(正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン)
による。
四辺形FGHK;正方形
となっている。
そして
円
ABCDに
外接
された。
定義4ー4
(外接(円に))
による。
四辺形FGHK;(外接)円ABCD
となっている。
よって
与えられた
円
に
正方形
が
外接
された。
これが作図すべきものであった。
命題4ー7
は、
円ABCD
に対して、
直径AC.円ABCD、
直径BD..円ABCD(;;BD⊥AC)、
交点F(接線(A,円ABCD),接線(D,円ABCD))、
交点G(接線(B,円ABCD),接線(A,円ABCD))、
交点H(接線(C,円ABCD),接線(B,円ABCD))、
交点K(接線(D,円ABCD),接線(C,円ABCD))
をとれば、
四辺形FGHK;正方形
のことである。
命題4ー7
は作図用命題である。
前提
作図
推論
定義
1-17
,
1-22
,
1-22補3
,
4-4
,
補(題1-34)
公準
1-1
,
1-1補
,
1-2
公理
1-1補
命題
1-11
,
3-1
,
3-1補2
,
3-16補3
補2(義1-17)
,
1-28
,
1-30
,
1-34
,
3-16系
その他
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