ユークリッド原論をどう読むか（８）
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ユークリッド原論

第４巻

命題４ー６（正方形の内接）
与えられた円に
　正方形を内接させること。

• 円は、 定義１ー１５ による。
• 正方形は、 定義１ー２２ による。
• 内接は、 定義４ー３ による。

与えられた円をＡＢＣＤとせよ。

• 　円ＡＢＣＤ
  をとっている。

このとき
　円ＡＢＣＤに
　正方形を内接させねばならぬ。
円ＡＢＣＤの
　２つの直径ＡＣ、ＢＤが
　互いに直角をなすように
　ひかれ、
　［その交点をＥとし、］ 【・・・(a)】

• 公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により
  　円周上に点Ａをとる。
  命題３ー１ （作図.円の中心）
  により
  　円の中心Ｅをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により
  　ＡとＥを結び、
  　 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  により
  　線分ＡＥを延長する。
  すると、
  　 命題３−１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により
  直線ＡＥは
  　Ａ以外に
  　もう１点で円周と交わる。
  その点をＣとする。
  定義１ー１７ （直径）
  により、
  線分ＡＣは
  　直径である。
  命題１ー１１ （作図・線分からの垂線）
  により
  　直径ＡＣに、
  　その上の中心Ｅから直角に
  　直線ＥＢをひく。
  命題３−１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により、
  直線ＥＢは
  　円周と２点で交わる。
  その１点を改めてＢとし、
  　もう１点をＤとする。
• 　円ＡＢＣＤ
  に対して、
  　中心Ｅ.円ＡＢＣＤ、
  　点Ａ[上.円周ＡＢＣＤ]、
  　交点Ｃ(延長ＡＥ,円周ＡＢＣＤ)、
  　交点Ｂ[円周ＡＢＣＤ,垂線(Ｅ,ＡＣ)]、
  　交点Ｄ(延長ＢＥ,円周ＡＢＣＤ)
  をとっている。

　ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡが
　結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ
  をとっている。

そうすれば
Ｅは
　中心であるから、

• (a)による。
• 　Ｅ;中心.円ＡＢＣＤ
  となっている。

ＢＥは
　ＥＤに等しく、

• 定義１ー１５ （円）
  による。
• 　ＢＥ＝ＥＤ
  となっている。

ＥＡは
　共通で
　かつ
　直角をなすから、

• (a)による。
• 　ＥＡ＝ＥＡ、
  　ＥＡ⊥ＢＤ
  となっている。

底辺ＡＢは
　底辺ＡＤに等しい。

• 命題１ー４ （２辺挟角相等）
  による。
• 　ＡＢ＝ＡＤ
  となっている。

同じ理由で
　ＢＣ、ＣＤの双方も
　ＡＢ、ＡＤの双方に等しい。

• 　ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＢ＝ＡＤ
  となっている。

それゆえ
四辺形ＡＢＣＤは
　等辺である。 【・・・(1)】

• 定義１ー２０の補足 （等辺）
  による。
• 　四辺形ＡＢＣＤ;等辺
  となっている。

ついで
　方形でもあると主張する。
線分ＢＤは
　円ＡＢＣＤの直径であるから、

• (a)による。
• 　ＢＤ;直径.円ＡＢＣＤ
  となっている。

ＢＡＤは
　半円である。

• 定義１ー１８ （半円）
  による。
• 　ＢＡＤ;半円.円ＡＢＣＤ
  となっている。

それゆえ
　角ＢＡＤは直角である。

• 命題３ー３１ （半円内の角は直角、半円より大小の切片内の角、切片の角）
  による。
• 　∠ＢＡＤ＝∠Ｒ
  となっている。

同じ理由で
　角ＡＢＣ、ＢＣＤ、ＣＤＡの
　　おのおのも直角である。

• 　∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＡ＝∠Ｒ
  となっている。

したがって
四辺形ＡＢＣＤは
　方形である。

• 定義１ー２２の補足３ （方形）
  による。
• 　四辺形ＡＢＣＤ;方形
  となっている。

ところが
　等辺であることも先に証明された。

• (1)による。
• 　四辺形ＡＢＣＤ;等辺
  となっている。

ゆえに
　正方形である。

• 定義１ー２２ （正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  による。
• 　四辺形ＡＢＣＤ;正方形
  となっている。

そして
　円ＡＢＣＤに内接された。

• 定義４ー３ （内接(円に)）
  による。
• 　四辺形ＡＢＣＤ;（内接）円ＡＢＣＤ
  となっている。

よって
　与えられた円に正方形ＡＢＣＤが内接された。
これが作図すべきものであった。

• 命題４ー６は、
  　円ＡＢＣＤ
  に対して、
  　直径ＡＣ.円ＡＢＣＤ、
  　直径ＢＤ..円周ＡＢＣＤ(;;ＢＤ⊥ＡＣ)、
  　線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ
  をとれば、
  　四辺形ＡＢＣＤ;正方形
  のことである。
• 命題４ー６は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-15,1-18,1-20補2,1-22,1-22補3,4-3
  公準	1-1,1-1補 ,1-2
  公理
  命題	3-1,3-1補2	1-4,3-31
  その他

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