ユークリッド原論をどう読むか（４）
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ユークリッド原論
第１巻

命題１−４０（三角形の等積変形２の逆）　
［一直線上にある］等しい底辺の上にあり
　かつ
　同じ側にある
　等しい三角形は
　同じ平行線の間にある。

• 等しいは、公理１−７による。　
• 底辺は、定義の補足（命題１−３５）による。
• 同じ側は、定義１−７の補足による。
• 三角形は、定義１−１９の補足２による。
• 平行線は、定義１−２３による。

ＡＢＣ、ＣＤＥを
　［一直線上にある］等しい底辺ＢＣ、ＣＥの上にあり
　かつ
　同じ側にある等しい三角形とせよ。

• 　△ＡＢＣ
  に対して、
  　点Ｅ(延長ＢＣ;;ＣＥ＝ＢＣ)、
  　点Ｄ(同側(ＢＥ,Ａ);;△ＤＣＥ＝△ＡＢＣ)
  をとっている。
  

　それらは同じ平行線の間にあると主張する。
　


ＡＤが結ばれたとせよ。

• 公準１−１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＡＤ
  をとっている。

ＡＤは
　ＢＥに平行であると主張する。

もし平行でないならば、

• 背理法の仮定である。

Ａを通り
　ＢＥに平行にＡＦがひかれ
　　　　　　【・・・(a)】

• 命題１−３１（作図・平行線）
  により
  　Ａを通りＢＥに平行な線がひかれ、
  　命題１−３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　ＢＥと交わるＣＤと平行線とが
  　Ｄと異なる交点をもつ。
  これをＦとする。
  この命題においても、
  　Ｆの位置が
  　Ｄについて
  　Ｃと同じ側にある場合と、
  　Ｃと反対側にある場合
  　が考えられる。
  
  図は
  　線分ＣＤ上にある場合のものであるが、
  　命題１−３９（三角形の等積変形の逆１）
  とまったく同様に、
  　以下の推論は成立している。
  コメントの
  　「ＤＣＥはＦＣＥより大きい。」を
  　「ＤＣＥはＦＣＥより小さい。」
  　とするだけでよい。

[ Ｃと同じ側にある場合]
ＦＥが結ばれたとせよ。

• 公準１−１（作図.直線）
  による。

そうすれば
　三角形ＡＢＣは三角形ＦＣＥに等しい。
なぜなら
　底辺ＢＣ、ＣＥの上にあり
　かつ
　平行線ＢＥ、ＡＦの間にある
　から。

• (a) ,命題１−３８（三角形の等積変形２）
  による。
• 「なぜなら・・・であるから」については、
  　コメント２（命題１ー１６）を参照のこと。

ところが
　三角形ＡＢＣはＤＣＥに等しい。

• 命題の設定 による。

ゆえに
　ＤＣＥは三角形ＦＣＥに等しい、

• 公理１−１（同じものに等しい）
  による。

すなわち
　大きいものが小さいものに等しい。

• 公理１−８（大きい）
  により、
  　線分ＣＤ上にＦがある場合、
  　ＤＣＥはＦＣＥより大きい。

これは不可能である。

それゆえ
　ＡＦはＢＣに平行でない。
[ Ｃと反対側にある場合]
同様にして
　ＡＤ以外の他のいかなる線分もそうでない
　ことを証明しうる。

• コメント（命題１ー１４）である。
  

したがって
[ ２つの場合の結果により]
　ＡＤはＢＣに平行である。

• 背理法による。

よって
　［一直線上にある］等しい底辺の上にあり
　かつ
　同じ側にある
　等しい三角形は同じ平行線の間にある。
　
これが証明すべきことであった。

• 命題１−３６（平行四辺形の等積変形２）
  の逆の成立も
  　この命題により
  　成立することがわかる。
  命題１−３９（三角形の等積変形の逆１）
  の場合と
  　まったく同じ事情による。
• 命題1-40は、
  　△ＡＢＣ
  に対して、
  　点Ｅ(延長ＢＣ;;ＣＥ＝ＢＣ)、
  　点Ｄ(同側(ＢＥ,Ａ);;△ＤＣＥ＝△ＡＢＣ)、
  　直線ＡＤ
  をとれば、
  　ＡＤ‖ＢＥ
  のことである。
  
• 命題1-40は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1
  公理		1-1、1-8
  命題	1-30補、1-31	1-38
  その他		背理法,場合分け, コ(題1-14),コ2(題1-16)f

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