ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論
第１１巻
命題１１ー１０（相会する２直線が相会する２直線に平行なら等しい角をはさむ）
もし
相会する２直線が，
同じ平面上にない
相会する２直線に平行である
ならば，
それらは
等しい角をはさむであろう。
相会する２直線ＡＢ、ＢＣが、
同じ平面上にない
相会する２直線ＤＥ、ＥＦに平行である
とせよ。
-
公準の補足２（命題１１ー２） (作図.空間に任意の平面をとる)
により、
平面Ｐ１をとり、
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
平面上に点Ａ、Ｂをとり、
公準１ー１（作図.直線）
により、
直線ＡＢをとり、
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
ＡＢ外に点Ｃをとり、
公準１ー１（作図.直線）
により、
直線ＢＣをとる。
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
Ｐ１外に点Ｅをとり、
命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
により、
ＡＢ、Ｅを通る平面Ｐ２、
ＢＣ、Ｅを通る平面Ｐ３をとり、
命題１ー３１（作図・平行線）
により、
Ｐ２上にＥを通り、ＡＢに平行な直線ＤＥ、
Ｐ３上にＥを通り、ＢＣに平行な直線ＥＦをとる。
-
ＤＥ、ＥＦ；平面（ＡＢ、ＢＣ）外
ＡＢ‖ＤＥ、
ＢＣ‖ＥＦ
となっている。
角ＡＢＣは
角ＤＥＦに等しい
と主張する。
[......(１)]
ＢＡ、ＢＣ、ＥＤ、ＥＦが
互いに等しく切りとられ，
ＡＤ、ＣＦ、ＢＥ、ＡＣ、ＤＦが
結ばれた
とせよ。
-
命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）、
公準１ー１（作図.直線）
による。
改めて、
Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｆ
をとっている。
-
ＡＢ＝ＢＣ＝ＥＤ＝ＥＦ
となっている。
そうすれば
ＢＡは
ＥＤに等しく平行である
から，
ＡＤも
ＢＥに等しく平行である。
-
前節、
命題１ー３３（等しく平行な２線分）
による。
-
ＡＤ＝ＢＥ、
ＡＤ‖ＢＥ
となっている。
同じ理由で
ＣＦも
ＢＥに等しく平行である。
-
前々節、
命題１ー３３（等しく平行な２線分）
による。
-
ＣＦ＝ＢＥ、
ＣＦ‖ＢＥ
となっている。
それゆえ
ＡＤ、ＣＦの双方は
ＢＥに等しく平行である。
-
前節、前々節、
による。
-
ＡＤ、ＣＦ＝ＢＥ、
ＡＤ、ＣＦ‖ＢＥ
となっている。
ところが
同一直線に平行であり，
それと同じ平面上にない
二つの直線は
互いにも平行である。
ゆえに
ＡＤは
ＣＦに平行で等しい。
-
前節、
公理１ー１（同じものに等しい）、
による。
-
ＡＤ＝ＣＦ、
ＡＤ‖ＣＦ
となっている。
そして
ＡＣ、ＤＦが
それらを結ぶ。
したがって
ＡＣは
ＤＦに等しく平行である。
-
前節、
命題１ー３３（等しく平行な２線分）
による。
-
ＡＣ＝ＤＦ、
ＡＣ‖ＤＦ
となっている。
そして
２辺ＡＢ、ＢＣは
２辺ＤＥ、ＥＦに等しく，
底辺ＡＣも
底辺ＤＦに等しい
から，
角ＡＢＣは
角ＤＥＦに等しい。
-
（１）、前節
命題１ー８（３辺相等２）
による。
-
∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ
となっている。
よって
もし
相会する２直線が，
同じ平面上にない
相会する２直線に平行である
ならば，
それらは
等しい角をはさむであろう。
これが証明すベきことであった。
- 命題１１ー１０は、
ＤＥ、ＥＦ；平面（ＡＢ、ＢＣ）外、
ＡＢ＝ＢＣ＝ＤＥ＝ＥＦ、
ＡＢ‖ＤＥ、
ＢＣ‖ＥＦ
なら、
ＡＤ＝ＢＥ＝ＣＦ、
ＡＤ‖ＢＥ‖ＣＦ
となり、
ＡＣ＝ＤＦ
となって、
△ＡＢＣ≡△ＤＥＦ
となって、
∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ
のことである。
- 命題１１ー１０は推論用命題である。
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