ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー３１（奇数が対して素なら２倍にも素）
もし
　奇数がある数に対し素である
ならば、
　その２倍に対しても素であろう。

• 奇数は、
  定義７ー７による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 対して素は、
  定義の補足（命題７ー２３）による。
• 倍は、
  定義の補足（公理１ー５）による。

　奇数Ａがある数Ｂに対し素である
とし、
　ＣをＢの２倍とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ＝奇数、Ａ⊥Ｂ、
  　Ｃ＝２×Ｂ
  となっている。
  

　ＡはＣに対し素である
と主張する。

もし
　［対して］素でない
ならば、

• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　何らかの数がそれら[Ａ、Ｃ]を割り切る
であろう。

　割り切る
とし、
　それをＤ
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　背理法の仮定である。
• 　Ｄ｜Ａ、Ｄ｜Ｃ
  となっている。

そうすれば
　Ａは奇数である。

• 　命題の設定による。

それゆえ
　Ｄも奇数である。

• 　数Ｆがあって、
  　Ａ／Ｄ＝Ｆ
  とし、
  　背理法の仮定として
  　Ｄが偶数である
  とすれば、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  により、
  　Ｆ×Ｄ＝Ａ
  となるので、
  　命題９ー２８（奇数×偶数は偶数）
  により
  　Ａは偶数
  となり、
  　Ａは奇数であるという
  　命題の設定に矛盾する。
  
• 　Ｄ＝奇数
  となっている。

そして
　Ｄは奇数であって

• 　前節による。

　Ｃを割り切り、

• 　背理法の仮定による。
• 　Ｄ｜Ｃ、
  　Ｄ＝奇数
  となっている。

　Ｃは偶数である

• 　命題の設定による。
• 　Ｃ＝偶数
  となっている。

から、
　ＤはＣの半分をも割り切る
であろう。

• 　前節、
  　命題９ー３０（奇数が偶数整除なら半分も整除）
  による。
  

ところが
　ＢはＣの半分である。

• 　命題の設定による。
• 　２×Ｂ＝Ｃ
  となっている。

ゆえに
　ＤはＢを割り切る。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｄ｜Ｂ
  となっている。

しかも
　Ａをも割り切る。

• 　（ａ）による。
• 　Ｄ｜Ａ
  となっている。

したがって
　Ｄは互いに素であるＡ、Ｂを割り切る。

• 　前節、前々節による。

　これは不可能である。

したがって
　ＡはＣに対し素でなくはない。

• 　背理法による。

よって
　Ａ、Ｃは互いに素である。

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー３１は、
  　Ａ；奇数、
  のとき、
  　Ｂ；Ａと互いに素
  ならば、
  　Ａ、２×Ｂ；互いに素
  のことである。
• 命題９ー３１は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		補4(義7-16),9-28,9-30
  その他	コ4(題7-1)	背理法

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