ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー２７（相似な立体数の比は立方数の比）
　相似な立体数は
　互いに
　立方数が立方数に対する比をもつ。

• 相似は、
  定義７ー２２による。
• 立体数は、
  定義７ー１８による。
• 立方数は、
  定義７ー２０による。
• 対するは、
  定義の補足３（命題５ー１１）による。
• 比は、
  定義５ー３による。

　Ａ、Ｂを相似な立体数
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　数Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ、Ｏ、Ｐがあって、
  　Ａ＝Ｋ×Ｌ×Ｍ、Ｂ＝Ｎ×Ｏ×Ｐ
  　Ｋ：Ｌ：Ｍ＝Ｎ：Ｏ：Ｐ
  となっている。
  

　ＡはＢに対し
　立方数が立方数に対する比をもつ
と主張する。

　Ａ、Ｂは相似な立体数である

• 　命題の設定による。

から、
　Ａ、Ｂの間には
　２つの比例中項数が入る。

• 　前節、
  　命題８ー１９の補足（構成.相似な立体数の比例中項）
  により、
  　Ａ：Ｋ×Ｏ×Ｍ
  　＝Ｋ×Ｏ×Ｍ：Ｋ×Ｏ×Ｐ
  　＝Ｋ×Ｏ×Ｐ：Ｂ
  となっている。
  

　Ｃ、 Ｄが入る
とし、

• 　Ｃ＝Ｋ×Ｏ×Ｍ、Ｄ＝Ｋ×Ｏ×Ｐ
  となっている。

　Ａ、Ｃ、Ｄ、Ｂと
　同じ比をもつもののうち
　最小であり、
　それらと同じ個数の
　Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈがとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　前節、前々節、 　命題８ー２　（構成.順次に比例する最小の数） による。
• 　Ａ：Ｃ：Ｄ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ：Ｇ：Ｈ（最小）
  となっている。　

　それらの外項Ｅ、Ｈは立方数である。

• 　前節、
  　命題８ー２（構成.順次に比例する最小の数）
  により、
  　Ａ：Ｃ＝Ｓ：Ｔ（最小）
  とすると、
  　Ｅ＝Ｓ^3、Ｆ＝Ｓ^2×Ｔ、
  　Ｇ＝Ｓ×Ｔ^2、Ｈ＝Ｔ^3
  となっている。
  

そして
　ＥがＨに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 　（ａ）による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｈ＝Ｓ^3：Ｔ^3
  となっている。

したがって
　ＡはＢに対し、
　立方数が立方数に対する比をもつ。

• 　前節による。

　これが証明すべきことであった。

• 　Ａ,Ｂが相似な立体数
  ならば、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ^3:Ｄ^3
  
• 命題８ー２７は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	8-2,8-19補
  その他	コ4(題7-1)

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