ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論
第７巻
命題７ー３９（構成.数個の等分をもつ最小数）
「等分の作図は」
与えられた数個の
《約数》［等分］をもつ
最小の数を見いだす
こと。
-
等分は、
定義の補足（命題７ー３７）による。
中村幸四郎他訳では、
約数となっているが、
約数とすれば、
命題７ー３６（３数の最小公倍数）
と実質的に同じであり、
命題として取り上げる意味がない。
等分された１つ分という
a part の意味として、
等分とする方が妥当である。
Euclid's Elements
（Clark University Professor D.E.Joyceの
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html）
においては、
Suppose
you want to find
the smallest number
with given parts,
say,
a fourth part and sixth part.
Then
take the LCM(4,6) which is 12.
The number 12 has
a 1/4 part,namely 3,
and a 1/6,namely 2.
とコメントしている。
- 最小は、
定義の補足３（命題３ー７）による。
- 数は、
定義７ー２
による。
与えられた
《約数》［等分］を
Ａ、Ｂ、Ｃ
とせよ。
-
等分は、
元来、
等分される数Ｚを定めて後に、
Ｚとの関係として定義される。
Ａ、Ｂ、Ｃ
が直接作図されるものではない
(以下、コメント２（命題７ー３９）)
(等分の作図)という。
-
準一般的な証明である。
コメント２（命題５ー１）
を参照のこと。
-
等分Ａ、Ｂ、Ｃ、
を仮想している。
作図されてはいない。
このとき
《約数》［等分］
Ａ、Ｂ、Ｃをもつ
最小の数を見いださ
ねばならぬ。
Ｄ、Ｅ、Ｆを
《約数》[等分]Ａ、Ｂ、Ｃと
同名の数
とし、
[......(ａ)]
-
定義の補足（命題７ー３８）（同名の数）
による。
-
同名数Ｄ(等分Ａ)、
同名数Ｅ(等分Ｂ)、
同名数Ｆ(等分Ｃ)
をとっている。
Ｄ、Ｅ、Ｆは作図される。
Ｄ、Ｅ、Ｆに割り切られる
最小の数Ｇがとられた
とせよ。
[......(ｂ)]
-
命題７ー３６（３数の最小公倍数）
による。
-
最小公倍数Ｇ(Ｄ,Ｅ,Ｆ)
をとっている。
そうすれば
Ｇは
Ｄ、Ｅ、Ｆと
同名の《約数》［等分］をもつ。
-
命題７ー３７（割り切れるなら同名の等分数が存在）
による。
-
((同名等分(Ｄ)、同名等分(Ｅ)、同名等分(Ｆ)).Ｇ);存在
となっている。
ところが
Ａ、Ｂ、Ｃは
Ｄ、Ｅ、Ｆと
同名の《約数》［等分］である。
-
（ａ）
による。
-
(等分Ａ、等分Ｂ、等分Ｃ);＝(同名等分(Ｄ),同名等分(Ｅ),同名等分(Ｆ))
となっている。
ゆえに
Ｇは
《約数》［等分］
Ａ、Ｂ、Ｃをもつ。
-
前節、前々節による。
-
(等分Ａ、等分Ｂ、等分Ｃ).Ｇ;存在
となっている。
次に
最小でもある
と主張する。
もし
最小でない
ならば、
《約数》［等分］
Ａ、Ｂ、Ｃをもつ
Ｇより小さい何らかの数がある
であろう。
それをＨ
とせよ。
-
背理法の仮定である。
-
数Ｈ[;;((等分Ａ、Ｂ、Ｃ).Ｈ);存在,＜Ｇ)
をとっている。
Ｈは
《約数》［等分］
Ａ、Ｂ、Ｃをもつ
から、
Ｈは
《約数》［等分］
Ａ、Ｂ、Ｃと同名の数に
割り切られる
であろう。
-
命題７ー３８（等分（数）と同名の数で割り切る）
による。
-
同名数(等分Ａ、等分Ｂ、等分Ｃ)｜Ｈ
となっている。
ところが
Ｄ、Ｅ、Ｆは
《約数》［等分］
Ａ、Ｂ、Ｃと同名の数である。
-
（ａ）による。
-
(Ｄ、Ｅ、Ｆ);同名数(等分Ａ、等分Ｂ、等分Ｃ)
となっている。
したがって
Ｈは
Ｄ、Ｅ、Ｆに割り切られる。
-
前節、前々節による。
-
(Ｄ、Ｅ、Ｆ)｜Ｈ
となっている。
そして
Ｇより小さい。
-
背理法の仮定による。
-
Ｇ;最小公倍数(Ｄ,Ｅ,Ｆ)、
Ｈ;(Ｄ、Ｅ、Ｆ)｜Ｈ、＜Ｇ
となっている。
これは不可能である。
よって
Ｈより小さくて
《約数》［等分］
Ａ、Ｂ、Ｃをもつ
いかなる数もない
であろう。
これが証明すべきことであった。
-
等分（単位分数）が独立して登場する
最初の命題である。
- 命題７ー３９は、
等分Ａ、Ｂ、Ｃ
に対して、
最小公倍数Ｇ(同名数(Ａ、Ｂ、Ｃ))
をとれば、
Ｇ;((等分(Ａ、Ｂ、Ｃ).Ｇ);存在)、最小
のことである。
- 命題７ー３９は構成用命題である。
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