ユークリッド原論をどう読むか（６）
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ユークリッド原論
第３巻
命題３ー５（交わる２円の中心）
(２円の交点は２つ)
もし
二つの円が
互いに交わるならば、
それらは
同じ中心をもたないであろう。
２円ＡＢＣ、ＣＤＧが
点Ｂ、Ｃにおいて
互いに交わるとせよ。
それらは
同じ中心をもたないであろう
と主張する。
- 円ＡＢＣがあり、
もう一つの円が
ＡＢＣに交わるのであるから、
定義１−８の補足により
ＡＢＣの円周上に交点Ｃがあり、
もう一つの円の周を
ＡＢＣの外部の方に後戻りせずに進むと、
定義１ー８の補足により
円は
ＡＢＣの外部と内部にまたがっているので、
いずれ内部に入り、
さらに進むと元の点に戻る。
内部に入るときに
円ＡＢＣと、
Ｃとは別の交点Ｂをもつ。
溯ってＢ、Ｃを用いている。
ここでは少なくとも
２点で交わっていると主張している。
２点しかないというのではない。
[......(Ａ)]
もし可能ならば、
同じ中心をＥとし、
【・・・(a)】
- 「Ｅをとり（take the center E)」と表現せずに、
「Ｅとし（let it be E)」と表現している
ことに注目すべきである。
（英文は、
Euclid's Elements
Clark University Professor D.E.Joyceの
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html）
による。）
実際に作図でＥを取ることを
しているのではなく、
論理的に存在を確保されている
中心を
Ｅとしているのである。
ＥＣが結ばれ、
任意にＥＦＧがひかれたとせよ。
- 命題の仮定により
円ＣＤＧは
円ＡＢＣの内部と外部分かれる。
公準１ー１の補足により
外部の円周上に点Ｇをとり、
公準１ー１によりＥＧを結ぶ。
ＥＧは
円ＡＢＣの内部と外部を結ぶ線分であるから、
命題３−２の補足により
ＡＢＣの円周と交点をもつ。
この交点をＦとする。
【・・・(b)】
そうすれば
点Ｅは
円ＡＢＣの中心であるから、
ＥＣはＥＦに等しい。
【・・・(1)】
また
Ｅは
円ＣＤＧの中心でもあるから、
ＥＣはＥＧに等しい。
しかも
ＥＣがＥＦに等しい
ことも先に証明された。
それゆえ
ＥＦもＥＧに、
すなわち
小さいものが大きいものに等しい。
これは不可能である。
ゆえに
点Ｅは
円ＡＢＣ、ＣＤＧの中心ではない。
よってもし
二つの円が
互いに交わるならば、
それらは
同じ中心をもたないであろう。
これが証明すべきことであった。
- この命題の証明には、
第３巻のこれ以前の命題を
前提としていない。
- 二つの円が
交わるとき
二つの円周は
ただ２点で交わる。
（以下、これを命題３−５の補足(２円の交点は２つ)という。）
これは
以下のように証明される。
少なくとも２点で交わることは
上の証明中の解説（Ａ）に述べている。
もし
３点Ｂ、Ｃ、Ｈで交われば、
命題３−１により
２円の中心は、
線分ＢＣの垂直２等分線上にあり、
また
線分ＣＨの垂直２等分線上にある。
命題１ー３０の補足により
交わる２線分の
二つの垂線は
交わるので、
その交点をＫとすると、
Ｋは
２円の中心となるが、
これは命題３−５に矛盾する。
したがって、
二つの円が交わるとき
二つの円周は
ただ２点で交わる。
-
命題３−５の補足(２円の交点は２つ)
- 命題３−５は推論用命題である。
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