ユークリッド原論をどう読むか(15)
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(15)はじめに

今回は、
  3部から構成されている第10巻の第2部
   である。

この部では
  第1部の最後に
   登場した,
  二項線分、第一双中項線分、第二双中項線分、優線分、
  中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺、
  中項面積の和に等しい正方形の辺という,
  無理線分の分類(6種類)を
   受けて,
 無理線分の相互関係が
   明らかにされてゆく.
まず,
  定義として,
 二項線分が
  6種類に
   分類される.
そして,
  命題に
   入り,
 この6種類が,
  現実に作図可能
   である
ことが示される.
次いで,
  有理線分と
  この6種類の二項線分によって
   囲まれる
 矩形の面積に等しい正方形の辺が
  第1部の最後に登場した6種類の無理線分
   である
こと,
また,
 その逆も
   成立する
ことが証明される.
さらに,
 6種類の無理線分と通約可能なものは,
  同じ種類の無理線分
   である
こと、
そして、
 有理面積と中項面積の和に等しい正方形の辺が
  6種類の無理線分のうちの4種類
   であり、
 2つの中項面積の和に等しい正方形の辺が
  残りの2種類と
   なる
ことが証明される.
以上、
 6種類の無理線分の分類の根拠となるものは、
 線分上の正方形の面積和と囲む矩形の面積が
  有理面積と中項面積のどちら
   であるか
ということと、
 線分が
  平方において通約と非通約のどちら
   であるか
ということであった。
 上記のことを、
  有理平方和、中項平方和、
  有理矩形、中項矩形、
  平方通約、平方非通約、と
   表記する
と、
 有理平方和、中項矩形、平方通約
なら
 その和は
  二項線分
 有理平方和、中項矩形、平方非通約
なら
 その和は
  優線分
 中項平方和、有理矩形、平方通約
なら
 その和は
  第1の双中項線分
 中項平方和、有理矩形、平方非通約
なら
 その和は
  中項と有理面積の和となる正方形の辺
 中項平方和、中項矩形、平方通約
なら
 その和は
  第2の双中項線分
 中項平方和、中項矩形、平方非通約
なら
 その和は
  中項面積の和に等しい正方形の辺
となり、
  これまでに登場した無理線分に
   対応する。
 有理平方和、有理矩形、平方通約
なら
 その和は
  有理線分、
は明らかで、
 残る組み合わせは、
 有理平方和、有理矩形、平方非通約、
   であるが、
 2線分の和、差が
  ともに有理面積
   である
から、
 2線分の一方は
  二項線分
ということになり、
 他方は
  有理線分の差、
  すなわち
  次に登場する余線分と
   なる。
という次第で、
 線分上の正方形の面積和と囲む矩形の面積が
  有理面積と中項面積のどちら
   であるか、
 線分が
  平方において通約と非通約のどちら
   であるか
という基準の上で、
  2線分の差に
 焦点が
   移り、
 余線分、第1の中項余線分、第2の中項余線分、
 劣線分、中項面積と有理面積の差に等しい正方形の辺、
 二つの中項面積の差に等しい正方形の辺が
   登場し、
  その特徴を
   一瞥して

 10巻の第二部が終わる。

なお、
 本文を読むに当たって、
 次のことに留意いただきたい。
 第10巻第2部にあたり、繰り返しておく。
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