ユークリッド原論をどう読むか(14)
頁末          目次

ユークリッド原論

第10巻
 
命題10ー1(繰り返し半分以下でいくらでも小さくなる)
 2つの不等が定められ、
もし
 大きいほうのから
 その半分より大きいがひかれ、
 残りから
 また
 その半分より大きいがひかれ、
 これがたえずくりかえされる
ならば、
 最初に定められた小さいほうのよりも
 小さい何らかのが残されるに至る
であろう。




 AB、Cを2つの不等
とし、
 そのうちABが大きい
とせよ。

もし
 ABから
 その半分より大きいがひかれ、
 残りから
 また
 その半分より大きいがひかれ、

 これがたえずくりかえされる
と、
 Cより小さい何らかの
 残されるにいたる
であろうと主張する。

 Cは何かされて
 いつか
 ABより大きくなる
であろう。

 された
とし、
 DEがCの倍量で、
 ABより大きい
とし、       [......(a)]

また
 DEが
 Cに等しいDF、FG、GEに
 分けられた
とし、
      [......(b)]

 そして
 ABから
 その半分より大きいBHが、
 AHから
 その半分より大きいHKがひかれ、
これがたえずくりかえされ、
 ABが
 DEと等しい個数に分けられる
までせよ。
      [......(c)]

 そこで
 AK、KH、HBが
 DF、FG、GEと等しい個数
 分けられたもの
とせよ。

 そうすれば
 DEはABより大きく

 DEから
 その半分より小さいEGが、

 ABから
 その半分より大きいBHがひかれている

から、
 残りのGDは残りのHAより大きい
     [......(d)]
 
 そして
 GDはHAより大きく
 GDからその半分GFが、
 HAからその半分より大きいHKがひかれている
から、
 残りのDFは残りのAKより大きい

 そして
 DFはCに等しい

それゆえ
 CはAKより大きい

したがって
 AKはCより小さい

よって
 最初に定められた
 小さいほうのCより
 小さいAKが
 ABから残されている。

これが証明すべきことであった。

 そして
もし
 ひかれる部分が半分であっても、
 同様にして証明されうる。

      目次   頁頭