ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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ユークリッド原論
第１０巻
命題１０ー１（繰り返し半分以下でいくらでも小さくなる）
２つの不等な量が定められ、
もし
大きいほうの量から
その半分より大きい量がひかれ、
残りから
また
その半分より大きい量がひかれ、
これがたえずくりかえされる
ならば、
最初に定められた小さいほうの量よりも
小さい何らかの量が残されるに至る
であろう。
ＡＢ、Ｃを２つの不等な量
とし、
そのうちＡＢが大きい
とせよ。
もし
ＡＢから
その半分より大きい量がひかれ、
残りから
また
その半分より大きい量がひかれ、
-
命題１ー３（作図.等しい線分を切り取る）
による。
これがたえずくりかえされる
と、
量Ｃより小さい何らかの量が
残されるにいたる
であろうと主張する。
Ｃは何倍かされて
いつか
ＡＢより大きくなる
であろう。
倍された
とし、
ＤＥがＣの倍量で、
ＡＢより大きい
とし、
[......(ａ)]
-
前節により、
数ｍがあって、
ＤＥ＝ｍ×Ｃ
ＤＥ＞ＡＢ
となっている。
また
ＤＥが
Ｃに等しいＤＦ、ＦＧ、ＧＥに
分けられた
とし、
[......(ｂ)]
-
準一般的な証明である。
コメント２（命題５ー１）
参照のこと。
-
ｍ＝３の場合を
可能な限り
一般的に論じている。
-
ＤＦ＝ＦＧ＝ＧＥ＝Ｃ
となっている。
そして
ＡＢから
その半分より大きいＢＨが、
ＡＨから
その半分より大きいＨＫがひかれ、
これがたえずくりかえされ、
ＡＢが
ＤＥと等しい個数に分けられる
までせよ。
[......(ｃ)]
そこで
ＡＫ、ＫＨ、ＨＢが
ＤＦ、ＦＧ、ＧＥと等しい個数に
分けられたもの
とせよ。
-
ＡＢ＝ＡＫ＋ＨＫ＋ＢＨ、
ＤＥ＝ＤＦ＋ＦＧ＋ＧＥ
と、
同じ個数に分けられている。
そうすれば
ＤＥはＡＢより大きく、
ＤＥから
その半分より小さいＥＧが、
ＡＢから
その半分より大きいＢＨがひかれている
から、
残りのＧＤは残りのＨＡより大きい。
[......(ｄ)]
-
前節、前々節
公理１ー８の補足６（半分より大きい、小さい）
により、
ＤＧ＞ＤＥ／２、ＡＢ／２＞ＨＡ
となっており
公理１ー８の補足４（大きい・小さいもののｎ倍・ｎ等分）
により、
ＤＥ／２＞ＡＢ／２
となっているので、
公理１ー８の補足３（大きい・小さいものより大きい・小さい）
による。
-
ＧＤ＞ＨＡ
となっている。
そして
ＧＤはＨＡより大きく、
ＧＤからその半分ＧＦが、
ＨＡからその半分より大きいＨＫがひかれている
から、
残りのＤＦは残りのＡＫより大きい。
-
前節
公理１ー８の補足６（半分より大きい、小さい）
により、
ＤＦ＝ＧＤ／２、ＨＡ／２＞ＡＫ
となっており
公理１ー８の補足４（大きい・小さいもののｎ倍・ｎ等分）
により、
ＤＧ／２＞ＨＡ／２
となっているので、
公理１ー８の補足３（大きい・小さいものより大きい・小さい）
による。
-
ＤＦ＞ＡＫ
となっている。
そして
ＤＦはＣに等しい。
それゆえ
ＣはＡＫより大きい。
-
前節、前々節、
公理１ー８の補足２（等しいものより大きい・小さい） という）
による。
-
Ｃ＞ＡＫ
となっている。
したがって
ＡＫはＣより小さい。
よって
最初に定められた
小さいほうの量Ｃより
小さい量ＡＫが
量ＡＢから残されている。
これが証明すべきことであった。
そして
もし
ひかれる部分が半分であっても、
同様にして証明されうる。
-
（ａ）において、
ＤＥがＣの３倍以上であれば、
（ｄ）が成立するので、
同様に不等号が成立する。
-
命題７ー３１（合成数を割り切る素数の存在）
の証明において、
原論の本文を補足した部分と
本質的に同じ内容
である。
-
命題１０ー１は、
Ｂm＞Ａm／２、
Ａm+1＝ＡmーＢm
とすると、
任意のＣに対して、
あるｎがあって、
Ａn＜Ｃ
ということである。
- 命題１０ー１は推論用命題である。
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