ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー３４（偶数倍の偶数かつ奇数）
もし
　ある数が
　２から始まり順次に２倍された
　数の一つでもなく、
　また
　その半分が奇数でもない
ならば、
　それは
　偶数倍の偶数である
　と共に
　偶数倍の奇数でもある。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 倍は、
  定義の補足（公理１ー５）による。
• 半分は、
  定義の補足（公理１ー６）による。
• 奇数は、
  定義７ー７による。
• 偶数倍の偶数は、
  定義７ー８による。
• 偶数倍の奇数は、
  定義７ー９による。

　数Ａが
　２から始まり順次に２倍された
　数の一つでもなく、
　また
　その半分が奇数でもない
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ not＝２から始まり順次に２倍した数
  　Ａ／２ ＝偶数
  となっている。
  

　Ａは偶数倍の偶数である
　と共に
　偶数倍の奇数］でもある
と主張する。

さて
　Ａが偶数倍の偶数である
ことは明らかである、
　　　　　　[......(１)]
なぜなら

• 　「なぜなら・・・であるから」は、
  　コメント２（命題１ー１６）
  　参照のこと。
  

　その半分として奇数をもたない
から。

• 　命題の設定による。
• 　Ａ／２＝偶数
  となっており、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  

次に
　偶数倍の奇数でもある
と主張する。

もし
　Ａを２等分し、
　さらに
　その半分を２等分し、
　これをくりかえし行なう
ならば、
　Ａを割った商を偶数とする
　何らかの奇数に到達する
であろう。

なぜならもし

• 　「なぜならもし」は、
  　コメント（命題１ー４）
  　参照のこと。
  

　そうでなけれ
ば、

• 　背理法の仮定を述べている。
• 　２等分繰り返しおこなっても
  　奇数に到達しない
  　とすれば
  ということである。
  

　２に到達し、

• 　２等分すれば小さくなる
  ので、
  　前節、
  　命題７ー１の補足６ (数を減じるのは有限回)
  により
  　いずれ商は２になる。
  

　Ａは
　２から始まり順次に２倍された
　数の一つになる
であろう。

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  

　これは仮定に反する。

それゆえ
　Ａは偶数倍の奇数である。

• 　背理法による。

ところが
　偶数倍の偶数である
ことも先に証明された。

• 　（１）による。

したがって
　Ａは偶数倍の偶数である
　と共に
　偶数倍の奇数でもある。

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー３４は、
  　Ａ；Ａ≠２、２^2、２^3、…、
  　　　かつ
  　　　Ａ／２≠奇数
  ならば、
  　Ａ；偶数倍の偶数、
  　　　と共に、
  　　　偶数倍の奇数
  のことである。
• 命題９ー３４は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		補4(義7-16),7-1補6
  その他	コ4(題7-1)	コ(題1-4),コ2(題1-16),背理法

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