ユークリッド原論をどう読むか（７）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー２９（弧が等しければ弦も等しい）

等しい円において
　等しい弧には
　等しい弦が対する。

• 等しいは、 公理１ー７ による。
• 円は、 定義１ー１５ による。
• 弧は、 定義１ー１８の補足 による。
• 弦は、 定義３ー４の補足 による。

ＡＢＣ、ＤＥＦを等しい円とし、
　それらにおいて
　等しい弧ＢＧＣ、ＥＨＦ切り取られ、
　弦ＢＣ、ＥＦが結ばれたとせよ。

• 　円ＡＢＣ
  に対して、
  　中心Ｋ.円ＡＢＣ、
  　弧ＢＧＣ.円ＡＢＣ、
  　中心角ＢＫＣ.円ＡＢＣ、
  　点Ｌ[]、
  　円ＤＥＦ[Ｌ,ＫＡ]、
  　点Ｅ[上.円ＤＥＦ]、
  　点Ｆ(上.円ＤＥＦ,同向側(ＥＬ,ＢＫ,Ｃ))、
  　線分ＢＣ、ＥＦ
  をとっている。

ＢＣは
　ＥＦに等しいと主張する。
　
円の中心がとられ、

• 命題３ー１ （作図.円の中心）
  による。

　それらをＫ、Ｌとし、
　ＢＫ、ＫＣ、ＥＬ、ＬＦが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　中心Ｋ.円ＡＢＣ、
  　中心Ｌ.円ＤＥＦ、
  　線分ＢＫ、ＫＣ、ＥＬ、ＬＦ
  をとっている。

そうすれば
弧ＢＧＣは
　弧ＥＨＦに等しいから、

• 命題の設定 による。
• 　弧ＢＧＣ.円ＡＢＣ≡弧ＥＨＦ.円ＤＥＦ
  となっている。

角ＢＫＣも
　ＥＬＦに等しい。 【・・・(1)】

• 命題３ー２７ （弧が等しければ角も等しい）
  による。
• 　∠ＢＫＣ＝∠ＥＬＦ
  となっている。

そして
円ＡＢＣ、ＤＥＦは
　等しいから、

• 命題の設定 による。
• 　円ＡＢＣ≡円ＤＥＦ
  となっている。

半径も等しい。

• 定義３ー１ （等しい２円）
  による。

そこで
２辺ＢＫ、ＫＣは
　２辺ＥＬ、ＬＦに等しい。
しかも
　等しい角をはさむ。

• (1) による。
• 　(ＢＫ、ＫＣ)＝(ＥＬ、ＬＦ)、
  　∠ＢＫＣ＝∠ＥＬＦ
  となっている。

ゆえに
底辺ＢＣは
　底辺ＥＦに等しい。

• 命題１ー４ （２辺挟角相等）
  による。
• 　ＢＣ＝ＥＦ
  となっている。

よって
　等しい円において
　等しい弧には
　等しい弦が対する。
これが証明すべきすべきことであった。

• 命題３ー２９は、
  　円ＡＢＣ
  に対して、
  　円ＤＥＦ[;;＝円ＡＢＣ]、
  　弧ＥＨＦ..円ＤＥＦ[;;＝弧ＢＧＣ.円ＡＢＣ]
  をとれば、
  　弦ＥＦ.円ＤＥＦ≡弦ＢＣ.円ＡＢＣ
  のことである。
  
• 命題３ー２９は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		3-1
  公準	1-1
  公理
  命題	3-1	1-4 , 3-27
  その他

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