ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論
第１１巻
命題１１ー１３（平面の同一点からの垂線は唯一）
同じ側・反対側(空間)
二つの直線が
同一の点から
同一平面に対し
同じ側に垂直には立てられない。
- 直線は、
定義１ー４による。
- 点は、
定義１ー１による。
- 平面は、
定義１ー７による。
- 同じ側・反対側については、
空間がその中にある面によって２つに分けられる
とき、
同じ側にあるとは、
同じ部分にあることをいい、
反対（異なる）側にあるとは、
異なる部分にあることをいう。
その面上にない２点は、
同じ側にあるか反対側にあるか
どちらかである。
(以下、定義の補足（命題１１ー１３）(同じ側・反対側(空間))という。)
による。
- 垂直は、
定義１１ー３の補足による。
もし
可能ならば，
同一の点Ａから基準平面に対し
２直線ＡＢ、ＡＣが
同じ側に垂直に立てられた
とし，
ＢＡ、ＡＣを通る平面が
つくられたとせよ。
-
背理法の仮定である。
命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
による。
-
平面Ｐ（ＢＡ、ＡＣ；）
となっている。
そうすれば
それは
Ａを通り
基準平面上に交線として線分をつくるであろう。
ＤＡＥをつくるとせよ。
[......(１)]
-
前節、
命題１１ー３（２平面の交線は直線）
による。
-
交線ＤＡＥ（Ｐ、基準平面）
となっている。
そうすれば
線分ＡＢ、ＡＣ、ＤＡＥは
一平面上にある。
[......(３)]
-
前節、背理法の仮定
による。
-
ＡＢ、ＡＣ、ＤＡＥ；平面Ｐ上
となっている。
[......(２)]
そして
ＣＡは
基準平面に垂直である
から，
それと会し
かつ
基準平面上にある
すベての直線に対しても
垂直であろう。
-
前節、
定義１１ー３（直角(直線・平面)）
による。
-
ＣＡ⊥直線（基準平面上、Ａ；）
となっている。
ところが
ＤＡＥは
それと会し基準平面上にある。
-
（１）
による。
-
ＤＡＥ；基準平面上
となっている。
ゆえに
角ＣＡＥは
直角である。
-
前節、前々節
による。
-
∠ＣＡＥ＝∠Ｒ
となっている。
同じ理由で
角ＢＡＥも
直角である。
-
（２）以降、前節までの推論
による。
-
∠ＢＡＥ＝∠Ｒ
となっている。
したがって
角ＣＡＥは
角ＢＡＥに等しい。
-
前節、前々節
による。
-
∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＥ＝∠Ｒ
となっている。
そして
一平面上にある。
-
（３）
による。
-
∠ＣＡＥ、∠ＢＡＥ；平面Ｐ上
となっている。
これは不可能である。
-
前節、前々節、
命題１ー１１の補足（垂線は唯一）
による。
-
ＣＡ；ＢＡと一致、
背理法の仮定に矛盾
となっている。
よって
同一の点から同一平面に対し
二つの直線が
同じ側に垂直に立てられない。
-
前節、背理法
による。
-
同一点からの垂線は唯一
となっている。
これが証明すべきことであった。
- 命題１１ー１３は、
同一点から異なる垂線がとれる
とすると、
それらの垂線により平面Ｐがとれ、
平面Ｐと基準平面との交線がとれ、
それらの垂線は
Ｐ上で、交線とＡに垂直となり、
Ｐ上で一致する
から
背理法の仮定に矛盾する。
よって、
同一点からの垂線は唯一
のことである。
- 命題１１ー１３は推論用命題である。
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